近期，偉德國際官網(wǎng)崔利榮教授與合作者在《Advances in Applied Probability》上發(fā)表了題目為：“An elementary derivation of moments of Hawkes processes”的研究論文。該論文針對(duì)求解Hawkes過程相關(guān)矩的普遍難題（open question）給出了一種初等方法，該方法不僅對(duì)馬爾可夫Hawkes過程有效，也對(duì)一些非馬爾可夫Hawkes過程有效，同時(shí)該方法也擴(kuò)展了著名的鄧肯公式(Dynkin’s formula)在隨機(jī)點(diǎn)過程中應(yīng)用。
Hawkes過程是一類具有自激勵(lì)的點(diǎn)過程，該隨機(jī)點(diǎn)過程可很好地描述簇類現(xiàn)象與相互影響作用。自1971年由英國的A.G.Hawkes教授基于地震余震的背景提出后，在地震領(lǐng)域得到了擴(kuò)展與應(yīng)用。在沉寂了20多年后，在上世紀(jì)90年代，Hawkes過程在金融領(lǐng)域開始得到了廣泛的關(guān)注。目前，除了在地震與金融領(lǐng)域外，還廣泛應(yīng)用于社交網(wǎng)絡(luò)、神經(jīng)科學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)、可靠性、信息擴(kuò)散、犯罪預(yù)測(cè)、保險(xiǎn)、專利引用、心理學(xué)、排隊(duì)論、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)交通等領(lǐng)域。
目前，對(duì)于計(jì)算Hawkes過程相關(guān)矩主要有Dynkin公式、無窮小算子、鞅、概率母函數(shù)、拉普拉斯變換及矩陣遞推方法，除了拉普拉斯變換方法外，其它方法的本質(zhì)上都是Dynkin公式，即這些方法均要求相關(guān)的Hawkes過程具有馬爾可夫性質(zhì)。拉普拉斯變換方法只能對(duì)Hawkes過程及其強(qiáng)度函數(shù)給出相應(yīng)的拉普拉斯變換，但一般情況下，沒有解析表達(dá)式。對(duì)于一般的Hwakes過程函數(shù)，拉普拉斯變換方法也不適用。
這篇論文提出了一種計(jì)算Hawkes過程相關(guān)矩的初等方法。該方法應(yīng)用條件期望來建立相應(yīng)的差分微分方程（組），然后，可遞推給出該方程（組）的解析解，進(jìn)而給出Hawkes過程相關(guān)矩的解析表達(dá)式。該方法不僅可給出Dynkin公式給出的結(jié)果，也可給出Dynkin公式不能給出的結(jié)果，因而，該方法擴(kuò)展了Dynkin公式在隨機(jī)點(diǎn)過程中應(yīng)用。論文中通過對(duì)簡單Hawkes過程（simple Hawkes），簡單標(biāo)記Hawkes過程 (simple marked Hawkes)，互激勵(lì)Hawkes過程(mutually exciting Hawkes)，Cox過程 (Cox process)，動(dòng)態(tài)傳染過程（dynamic contagion），泊松過程(Poisson)、多維標(biāo)記Hawkes過程 (multi-marked Hawkes)、非馬氏Hawkes過程（Non-Markovian Hawkes）等隨機(jī)點(diǎn)過程的應(yīng)用，進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法的有效性與適用范圍的廣泛性。該方法也同時(shí)給出了對(duì)一般有序隨機(jī)點(diǎn)過程的m階矩的一個(gè)普遍計(jì)算遞推公式。
該項(xiàng)工作得到了國家自然基金委面上項(xiàng)目（71871021）與重點(diǎn)項(xiàng)目（71631001）的資助。
論文信息：Cui, L.R., Hawkes, A.G., Yi H. (2020). An elementary derivation of moments of Hawkes processes. Adv. Appl. Prob . 52, 102-137.
論文鏈接地址：https://www.cambridge.org/core/journals/advances-in-applied-probability/article/an-elementary-derivation-of-moments-of-hawkes-processes/79A7355542F08087C8AE828C664A3049
作者個(gè)人簡介：
崔利榮，1994年在英國University of Wales (Swansea)獲得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)博士學(xué)位，導(dǎo)師：Prof. A. G. Hawkes. 一直從事質(zhì)量與可靠性研究與教學(xué)工作。
易鶴，2010年進(jìn)入偉德國際1946bv官網(wǎng)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，2014年獲得理學(xué)學(xué)士學(xué)位，并開始直博，2020年獲得偉德國際1946bv官網(wǎng)統(tǒng)計(jì)學(xué)博士學(xué)位，導(dǎo)師為崔利榮。讀博期間獲得國家留學(xué)基金委資助，赴加拿大McMaster大學(xué)訪學(xué)1年。讀博期間發(fā)表SCI論文9篇。目前，就職于北京化工大學(xué)，任職副教授。
